Similaridade de cosseno na prática: embeddings, busca semântica e RAG

Matemática para IA - Parte 04

Nas aulas anteriores, construímos uma sequência importante: aprendemos a representar dados como vetores, medir sua magnitude e calcular o produto escalar. Agora chegamos a uma das aplicações mais úteis dessa matemática em inteligência artificial: comparar vetores pela direção em que apontam.

A similaridade de cosseno mede o alinhamento entre dois vetores reduzindo a influência de suas magnitudes.

Essa ideia aparece diretamente em embeddings, busca semântica, ranking vetorial e sistemas RAG.

1. Do produto escalar à similaridade de cosseno

Na Aula 03 vimos a relação geométrica:

a · b = ||a|| ||b|| cos(θ)

O produto escalar depende tanto do ângulo quanto do tamanho dos dois vetores. Mas, em muitos problemas de IA, queremos responder uma pergunta diferente:

Os vetores apontam para direções semelhantes?

Isolando o cosseno do ângulo:

cos(θ) = (a · b) / (||a|| ||b||)

Essa expressão é a similaridade de cosseno.

2. Por que remover a influência da magnitude?

Considere:

a = [1, 2]
b = [10, 20]

O segundo vetor é dez vezes maior que o primeiro:

b = 10a

As magnitudes são muito diferentes, porém os dois apontam exatamente para a mesma direção. O ângulo entre eles é 0° e:

cos(0°) = 1

Portanto:

similaridade(a,b) = 1

Isso mostra a principal característica da métrica: ela consegue reconhecer alinhamento mesmo quando os tamanhos dos vetores são diferentes.

3. Como interpretar os valores?

Em tarefas com embeddings, normalmente procuramos os vetores com maior score de similaridade.

4. Exemplo completo

Considere:

a = [1, 2]
b = [2, 4]

Primeiro calculamos o produto escalar:

a · b = 1×2 + 2×4 = 10

As normas são:

||a|| = √5
||b|| = √20

Então:

similaridade = 10 / (√5 × √20)
             = 10 / 10
             = 1

Os dois vetores possuem exatamente a mesma direção.

5. Vetores perpendiculares e opostos

Para:

a = [1, 0]
b = [0, 1]

o produto escalar é zero, logo a similaridade de cosseno também é zero. Geometricamente, os vetores formam 90°.

Já para:

a = [1, 0]
b = [-1, 0]

o ângulo é 180° e a similaridade é:

-1

6. Implementando em NumPy

import numpy as np


def cosine_similarity(a, b):
    return np.dot(a, b) / (
        np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b)
    )


a = np.array([1, 2])
b = np.array([2, 4])

print(cosine_similarity(a, b))
# 1.0

7. Vetores normalizados simplificam a conta

Quando normalizamos os vetores:

â = a / ||a||
b̂ = b / ||b||

suas normas passam a valer 1. Assim:

similaridade(a,b) = â · b̂

Quando os embeddings já estão normalizados, o produto escalar equivale à similaridade de cosseno.

Essa relação é importante para compreender como sistemas de busca vetorial podem tornar comparações mais eficientes.

8. De palavras para embeddings

Imagine, apenas didaticamente:

café      = [ 0.72, 0.41,  0.88]
chá       = [ 0.69, 0.39,  0.84]
automóvel = [-0.42, 0.91, -0.35]

Se compararmos o embedding de “café” com os outros, é plausível que “chá” tenha maior alinhamento que “automóvel”.

A ideia central é:

significado
    ↓
vetor
    ↓
geometria
    ↓
similaridade

9. Significado virou geometria

Embeddings reais podem possuir centenas ou milhares de dimensões. Não conseguimos visualizar um espaço de 768 ou 1536 dimensões, mas ainda conseguimos calcular:

• produto escalar;
• norma;
• distância;
• similaridade.

É por isso que podemos realizar geometria em espaços semânticos de alta dimensão.

10. Busca por palavra-chave versus busca semântica

Considere um documento:

O consumo moderado de café contém compostos bioativos e cafeína.

E uma consulta:

Quais são os efeitos de beber café?

Uma busca puramente textual pode depender muito da coincidência de palavras. Uma busca semântica converte consulta e documentos em embeddings e compara suas representações, permitindo recuperar conteúdos relacionados mesmo quando a redação é diferente.

11. Ranking vetorial

Imagine a coleção:

D1 — Cultivo de café no Brasil
D2 — Benefícios e composição do café
D3 — Manutenção de motores elétricos
D4 — Chá verde e cafeína
D5 — Legislação de trânsito

Consulta:

Qual a relação entre café e cafeína?

Depois da comparação vetorial, poderíamos obter um ranking ilustrativo:

1º D2 → 0.96
2º D4 → 0.83
3º D1 → 0.78
4º D3 → 0.10
5º D5 → 0.06

O sistema não está apenas procurando palavras: ele está ordenando documentos por proximidade semântica.

12. Top-K

Em vez de recuperar todos os documentos, um sistema pode selecionar apenas os mais relevantes:

Top-K = 3

D2
D4
D1

Esse mecanismo será especialmente importante quando chegarmos a RAG.

13. Finalmente: RAG

RAG significa Retrieval-Augmented Generation. O fluxo pode ser representado assim:

Usuário
   ↓
Pergunta
   ↓
Embedding da pergunta
   ↓
Busca vetorial
   ↓
Similaridade
   ↓
Top-K documentos
   ↓
Contexto
   ↓
LLM
   ↓
Resposta

O LLM não precisa depender somente do conhecimento internalizado no treinamento. O sistema pode primeiro recuperar informações externas relevantes e fornecê-las como contexto.

14. Um exemplo de RAG

Usuário:

Quais normas regulam determinado produto?

A pergunta é transformada em um vetor q e comparada com milhares de embeddings de documentos.

O sistema recupera, por exemplo, os cinco documentos mais relevantes e entrega o conteúdo ao LLM. A resposta é então gerada a partir desse contexto recuperado.

15. Por que bancos vetoriais existem?

Com algumas dezenas de documentos, podemos comparar a consulta com todos os vetores. Mas imagine milhões ou centenas de milhões de embeddings.

É aí que entram bancos e índices vetoriais, projetados para encontrar rapidamente representações próximas.

documentos → embeddings → índice vetorial

consulta → embedding → busca → vizinhos mais próximos

16. Similaridade versus distância

Algumas ferramentas trabalham com cosine similarity; outras utilizam cosine distance. Uma convenção comum é:

cosine distance = 1 - cosine similarity

Consequentemente:

similaridade alta → distância baixa

Sempre verifique se a biblioteca está retornando similaridade ou distância.

17. Não existe um limiar universal

Uma regra como:

score > 0.80 = semanticamente equivalente

não é universalmente válida. O comportamento dos scores depende do modelo de embeddings, domínio, idioma, tamanho dos textos, estratégia de chunking e objetivo da aplicação.

Limiares precisam ser avaliados empiricamente.

18. Ranking muitas vezes importa mais que um score isolado

Em recuperação de informação, podemos estar mais interessados na ordenação:

Documento A → 0.91
Documento B → 0.88
Documento C → 0.84
Documento D → 0.51

do que em interpretar isoladamente se 0.84 é “alto” ou “baixo”.

19. Uma limitação importante

Considere:

a = [1, 2]
b = [1000, 2000]

A similaridade de cosseno é 1 porque a direção é idêntica. Isso não significa que os vetores sejam iguais em magnitude.

A similaridade de cosseno responde principalmente sobre alinhamento de direção, não sobre igualdade completa entre os vetores.

20. A métrica depende do problema

Distância Euclidiana:

d(a,b) = ||a - b||

Pergunta: quão próximos os pontos estão?

Similaridade de cosseno:

sim(a,b) = (a · b) / (||a|| ||b||)

Pergunta: quão semelhantes são suas direções?

Nenhuma das métricas é universalmente superior. Elas respondem a perguntas geométricas diferentes.

21. Mini busca vetorial em NumPy

import numpy as np

query = np.array([0.8, 0.4, 0.2])

docs = {
    "café": np.array([0.79, 0.42, 0.18]),
    "chá": np.array([0.72, 0.46, 0.25]),
    "carro": np.array([-0.3, 0.8, -0.4])
}


def cosine_similarity(a, b):
    return np.dot(a, b) / (
        np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b)
    )

resultados = []

for nome, vetor in docs.items():
    score = cosine_similarity(query, vetor)
    resultados.append((nome, score))

resultados.sort(key=lambda x: x[1], reverse=True)

for nome, score in resultados:
    print(nome, score)

Esse pequeno exemplo contém a essência matemática de uma busca vetorial: representar, comparar e ordenar.

22. O salto conceitual

Em vez de perguntar apenas:

A palavra “café” existe no documento?

passamos a perguntar:

Qual representação vetorial está semanticamente mais próxima da consulta?

Essa mudança é uma das bases da recuperação semântica moderna.

23. Mapa mental da Aula 04

Texto
  ↓
Embedding
  ↓
Vetor
  ↓
Normalização
  ↓
Produto escalar
  ↓
Similaridade de cosseno
  ↓
Ranking
  ↓
Top-K
  ↓
Busca semântica
  ↓
RAG

24. Exercícios de fixação

1. Se a=[1,2] e b=[2,4], qual deve ser aproximadamente a similaridade de cosseno? Explique.
2. Se a=[1,0] e b=[0,7], qual é a similaridade e o que isso significa geometricamente?
3. Entre scores 0.97 e 0.42, qual representa maior alinhamento?
4. Por que não existe um limiar universal como 0.80 para equivalência semântica?
5. Explique o fluxo pergunta → embedding → busca vetorial → Top-K → LLM.
6. Por que pré-calcular embeddings de um milhão de documentos é mais eficiente do que pedir ao LLM para reler tudo em cada consulta?

25. O que vem depois?

Na próxima aula voltaremos à expressão que apareceu logo no início da trilha:

y = Wx + b

Agora teremos base suficiente para interpretá-la geometricamente. Vamos estudar matrizes como transformações, multiplicação matriz-vetor e como uma camada neural pode ser entendida como uma transformação aprendida.

Este artigo faz parte da série Fundamentos Matemáticos para Inteligência Artificial, do MirandasTech.